Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 552933
i

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с пря­мым углом С. На ка­те­те АС взята точка М. Окруж­ность с цен­тром О и диа­мет­ром СМ ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MN и ВО па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BOMN, если CN  =  8, AM : MC  =  1 : 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  От­рез­ки ON и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник CONB впи­сан в окруж­ность. По­это­му углы NBO и NCO равны как впи­сан­ные, ко­то­рые опи­ра­ют­ся на одну дугу. Углы ANM и NCO равны как углы между ка­са­тель­ной и хор­дой. По­это­му углы NBO и ANM равны, и по­то­му пря­мые MN и BO па­рал­лель­ны.

б)  От­рез­ки AM и MC от­но­сят­ся как 1 к 3. Пусть от­ре­зок AM равен 2x, а от­рез­ки MO, ON и OC равны 3x. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OAN:

AN в квад­ра­те =25x в квад­ра­те минус 9x в квад­ра­те =16x в квад­ра­те рав­но­силь­но AN=4x.

Пусть длины от­рез­ков BC и BN равны y, тогда левая круг­лая скоб­ка y плюс 4x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 8x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , от­сю­да y=6x. Вы­ра­зим пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BCON:

S_BCON=3x умно­жить на 6x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 8 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 6x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 18x в квад­ра­те =12x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Най­дем пло­щадь ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка:

S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 6x умно­жить на 8x=24x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 160, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \Rightarrow S_AOB= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 100, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

S_BOMN=S_AOB минус S_AMN= левая круг­лая скоб­ка 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка S_AOB= дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 100, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 28.

Ответ: б) 28.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 552933: 635866 635968 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 329. (часть C)
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026