PDF-версии: 1. Тип 13 № 531828 
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что должны быть выполнены следующие условия: 
то есть 
При этих условиях применим к правой части формулу 
и получим равносильное уравнение
При тех же условиях имеем:
Из найденной серии ограничениям удовлетворяет только корень 
б) Очевидно, что единственный корень п. а) не лежит в указанном промежутке, то есть удовлетворяющих условию корней нет.
Ответ: а) 
б) корней нет.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б) корней нет.
б) корней нет.531828
а) б) корней нет.
б) корней нет.Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
значит, расстояние от R до грани 
и от точки P равны, 
Следовательно, прямая PR и плоскость ABB1A1 параллельны, а сечение PQR пересекает грань 
При этом 
и
Пусть R' — проекция R на ребро 
тогда 
Следовательно, треугольник 
подобен треугольнику PRR', прямые A1Q и PR параллельны и принадлежит плоскости PQR. Пусть M — точка пересечения прямых 
и 
а прямые D1N и A1M параллельны, N принадлежит 
тогда искомое сечение 
— прямоугольник: 
· 
прямая 
лежит в плоскости PQR. Пусть K — точка пересечения прямых 
значит, искомое соотношение — 
Треугольники 
и 
подобны (см. рис.), следовательно,
б) 2 : 1.
касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 60°. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D — на луче BF так, что AC = BD = 2. 
отсюда следует 
то 
откуда 
Далее, 
откуда 
(*)
значит, изделия третьего типа имеют самую большую удельную цену (цена на 1 кг изделия), а изделия второго типа — самую маленькую. 
то 
а значит, уравнение (*) не имеет решений в натуральных числах. Будем проверять чётные числа, меньшие 22, в порядке убывания. Если 
то 
— это уравнение не имеет решений в натуральных числах. Если 
то 
полученное уравнение имеет единственное решение 
Следовательно, наибольшая суммарная стоимость находящихся в контейнере изделий равна 
тыс. руб.
то 
а значит, уравнение (*) не имеет решений в натуральных числах. Проверим значения y, меньшие 20. Если 
то 
— нет решений в натуральных числах. Если 
то 
— нет решений в натуральных числах. Если 
то 
— есть единственное решение 
Следовательно, наименьшая суммарная стоимость находящихся в контейнере изделий равна 
(тыс. руб.)
и сделаем замену 
где 
Тогда уравнение примет вид
тогда уравнение примет вид 
Функция 
является возрастающей, поэтому полученное уравнение равносильно уравнению 
Тем самым задача свелась к нахождению параметра a, при котором уравнение 
имеет хотя бы один корень 
Следовательно, система имеет решения при 
то есть при 
то минимум из 7 пар придется взять четное число. Либо одно из выбранных будет 2 — тогда все остальные тоже обязаны быть четными во избежание взаимной простоты с двойкой, а их произведение будет квадратом (оно равно 
), либо 2 не выбрано — тогда вместо него выбрано 105. Нетрудно видеть, что вариант «все четные, кроме двойки, и еще 105» удовлетворяет всем условиям.
поэтому все делители разбиваются на пары, причем числа в каждой паре взаимно просты, из каждой пары нужно взять ровно одно число. Если не взять ни одного числа, кратного 5, то придется взять единицу, что невозможно. Значит, произведение не кратно 160 лишь потому, что не кратно 32. Если взять 3, то все прочие числа будут кратны 3, и их произведение составит 
и будет четвертой степенью. Аналогично нельзя взять 5, 13 и еще 1. Итак, уже точно взяты их пары, то есть 130, 78, 30, 390, поэтому больше четных чисел брать нельзя (иначе произведение поделится на 32). Значит, из остальных пар взяты нечетные числа. Этот вариант подходит.
значит, нужно набрать еще сумму 54, взяв по числу из пар 
Из последней, очевидно, надо взять 6, после чего переборов вариантов в первых двух определяем полный список чисел.