1. Тип 13 № 530699 
Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Системы уравнений, Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Решим уравнение:
б) Отберём корни на промежутке 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получим число 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 530699
а) б)
б) Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Системы уравнений, Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Заметим, что так как плоскость SLM перпендикулярна плоскости KLMN и плоскость SNK перпендикулярна плоскости KLMN, то прямая SP перпендикуляра плоскости KLMN, то есть SP — высота пирамиды.
откуда 
а 
Тогда
где H2 — середина MN. Рассмотрим плоскость SPH2. Прямая SP перпендикулярна прямой KL, прямая PH1 перпендикулярна прямой KL, следовательно, прямая KL перпендикулярна плоскости SPH2. Опустим из H2 перпендикуляр на прямую SH1, 
значит, прямая H2O перпендикулярна прямым KL и SH1, следовательно, прямая H2O перпендикулярна плоскости SKL и H2O является искомым расстоянием.
б) 
по формуле разности кубов, получим:
и 
Значит, треугольники FAK и HBK подобны по двум углам и треугольники KAH и KBE подобен по двум углам. Таким образом,
Значит,
при выполнении условий 
и найдём корни уравнения 
(*)
то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же 
или 
то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня. 
и параболы 
(это следует из того, что уравнение 
имеет единственное решение).
имеет ровно один корень на 
и при этом не имеет корней на 
Это выполняется при 
Найдём значения 
является меньшим корнем уравнения 
получаем: 
Значение 
является корнем уравнения 
получаем: 
Значение 
является корнем уравнения 
получаем: 
при 
получаем 
что возможно при 
Итак, если Вовочка сделал 9 и 12 ошибок, а после исправлений их стало 3 и 2, то все условия задачи выполнены.
получаем 
то есть 
что невозможно при целом x.
запрещено по условию (он допустил ошибки), а при 
или 
такого целого не находится. Если же взять 
то такая ситуация возможна (см. пункт а), поэтому ответ 21.