Ре­ше­ние. Налог со­ста­вит 700 · 0,13  =  91 рубль. После вы­пла­ты на­ло­га оста­нет­ся 700 − 91  =  609 руб­лей. Раз­де­лим 609 на 60:

Зна­чит, денег хва­та­ет на 10 тюль­па­нов. В бу­ке­те долж­но быть не­чет­ное число цве­тов, по­это­му сту­дент купит 9 тюль­па­нов.

Ответ: 9.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

Со­ста­ви­те­лям этого эк­за­ме­на­ци­он­но­го за­да­ния сле­до­ва­ло бы сфор­му­ли­ро­вать во­прос так: «Сколь­ко тюль­па­нов будет в бу­ке­те, если из­вест­но, что со сту­ден­та удер­жат налог на до­хо­ды, ко­то­рый со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, тюль­па­ны стоят 60 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?».

Ре­ше­ние. Видно, что более 2 мил­ли­мет­ров осад­ков вы­па­да­ло три дня: 8, 12 и 14 ян­ва­ря (см. рис.).

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр BK из точки B к лучу OA. Тан­генс остро­го угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. При­ни­мая во вни­ма­ние, что BK  =  OK, по­лу­чим:

Ответ: 1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр BK из точки B к лучу OA. Из ра­вен­ства ка­те­тов по­стро­ен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KOB за­клю­ча­ем, что оба его ост­рых угла равны 45°. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый тан­генс равен 1.

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

Луч OB про­хо­дит ровно по диа­го­на­лям кле­ток квад­рат­ной ре­шет­ки. По­это­му он со­став­ля­ет с лучом ОА угол 45°. Тан­генс этого угла равен 1.

Ре­ше­ние. На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, из них 5 чет­ных: 0, 2, 4, 6, 8. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но будет на­жа­та чет­ная цифра, равна 5 : 10  =  0,5.

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния за­да­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем На об­ла­сти опре­де­ле­ния имеем:

Оба най­ден­ных ре­ше­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию мень­ший из них равен −0,5.

Ответ: −0,5.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что то есть

Угол А ост­рый, его ко­си­нус по­ло­жи­тель­ный, по­это­му Далее имеем:

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние.

Можно было ис­поль­зо­вать опре­де­ле­ние ко­си­ну­са: сле­до­ва­тель­но, от­ку­да AB  =  7.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Най­дем BC:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем AB:

Ре­ше­ние. Cмена знака про­из­вод­ной с по­ло­жи­тель­но­го на от­ри­ца­тель­ный со­от­вет­ству­ет точке мак­си­му­ма, сле­до­ва­тель­но, в точке с абс­цис­сой −2 до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции.

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF в 6 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС. По­это­му объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF в 6 раз боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABC, он равен

Ответ: 198.

При­ме­ча­ние.

До­ка­жем, что пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF в 6 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС. Для этого по­ло­жим сто­ро­ну ше­сти­уголь­ни­ка рав­ной а и най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с бо­ко­вой сто­ро­ной a и углом при вер­ши­не 120°:

Те­перь най­дем пло­щадь всего ше­сти­уголь­ни­ка. Он со­сто­ит из шести рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков ОAB, ОBС, ..., ОFA, где точка О  — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка. Сто­ро­ны этих тре­уголь­ни­ков равны а, пло­щадь каж­до­го из них равна Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка вше­сте­ро боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства нм на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины волны света нм и но­ме­ра мак­си­му­ма :

Зна­чит, ми­ни­маль­ный угол рав­ня­ет­ся 30°.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Наи­мень­шее общее крат­ное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут пер­вый и вто­рой, вто­рой и тре­тий, пер­вый и тре­тий на­со­сы (каж­дый учтен два­жды) за­пол­нят 14 + 9 + 7  =  30 бас­сей­нов. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы за­пол­ня­ют 15 бас­сей­нов за 126 минут, а зна­чит, 1 бас­сейн за 8,4 ми­ну­ты.

Ответ: 8,4.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/9 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий  — 1/14 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий  — 1/18 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

Тем самым, они могли бы за­пол­нить бас­сейн за 21/5 ми­ну­ты или за 4,2 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить бас­сейн за 8,4 ми­ну­ты.

При­ве­дем ал­геб­ра­и­че­ское ре­ше­ние Ти­му­ра Али­е­ва.

Пусть x  — про­из­во­ди­тель­ность пер­во­го на­со­са, y  — про­из­во­ди­тель­ность вто­ро­го на­со­са, z  — про­из­во­ди­тель­ность тре­тье­го на­со­са. Тогда

Сло­жив урав­не­ния, по­лу­чим

Тогда при сов­мест­ной ра­бо­те всех трех на­со­сов время за­пол­не­ния бас­сей­на со­ста­вит ми­ну­ты.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: −16,5.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти (см. рис.) отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа

Ответ: а) где б)

При­ме­ча­ние.

Ответ в пунк­те а) можно за­пи­сать и в дру­гой форме. На­при­мер, где

Ре­ше­ние. а)  Про­ведём через точку N пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AB, до пе­ре­се­че­ния с пря­мой B₁C₁ в точке K. Тра­пе­ция ABKN  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Имеем A₁N= 3, по­сколь­ку точка N  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Зна­чит, Ана­ло­гич­но BK = 5.

Далее NK = 3, как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый пе­ри­метр се­че­ния равен 6 + 5 + 5 + 3  =  19.

Ответ: 19.