Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 527614
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сна­ча­ла ОДЗ не­ра­вен­ства, а затем ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем его.

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x боль­ше 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x боль­ше 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0,x мень­ше 1,x мень­ше 1,x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

Итак, x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь ре­ша­ем не­ра­вен­ство:

 дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x минус 1, зна­ме­на­тель: минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 x плюс 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 7x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 7x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 7 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7x минус 1, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем ответ x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ком­мен­та­рий. Можно при­ме­нять ра­ци­о­на­ли­за­цию и в слу­чае, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма мень­ше еди­ни­цы, но тогда нужно будет по­ме­нять знак не­ра­вен­ства, по­сколь­ку тогда  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию c a минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию c b и a минус b имеют не оди­на­ко­вые, а про­ти­во­по­лож­ные знаки.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, не­вер­ный из-за не­до­че­та в ре­ше­нии или вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 277
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов