PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527575 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Отметим, что левая часть всегда больше единицы, поэтому 
поэтому решения должны лежать во второй четверти. Возведем в квадрат и сведем уравнение к однородному:
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527575
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
и 
соответственно.
и 
равны.
если 
и плоскость 
делит SO в отношении 
считая от вершины S.
параллельна прямой BD, поэтому 
Тогда треугольники 
и 
равны по первому признаку (
как половинки диагонали параллелограмма, 
как углы при основании равнобедренного треугольника), поэтому 
Аналогично 
Наконец, поскольку прямая 
параллельна прямой CD, прямая AB параллельна прямой 
то треугольники 
и SDC, а также 
и SBA подобны. Более того, коэффициенты подобия в обеих парах равны (поскольку 
из подобия 
и SAD). Поскольку 
то и 
Значит, треугольники 
поэтому 
откуда коэффициент подобия треугольников SAB и 
Теперь найдём объём пирамиды 
:
Аргумент первого логарифма всегда положителен. Рационализируем неравенство:
получаем 
в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1.
откуда 
тогда 
или 
Воспользуемся тем, что AD > BC. Если сдвигать точку A к точке D, точка M будет перемещаться по дуге в сторону точки D, таким образом, дуга NBM будет увеличиваться. В тот момент, когда основания станут равны, точки M и N станут симметричны относительно середины отрезка BD, то есть станут диаметрально противоположны. Итак, если увеличивать дугу NBM, то она станет полуокружностью, значит, на исходной картинке она меньше полуокружности, поэтому 
Таким образом, 
Высота трапеции равна диаметру окружности: 
Пусть длина верхнего основания трапеции равна а, а длина нижнего равна b, из выражения для площади трапеции находим, что: 
а 
В прямоугольном треугольнике CBD находим: 
В прямоугольном треугольнике ADB находим: 
Угол MDC, равный сумме углов CBD и ADB, опирается на ту же хорду, что и угол MBC, но его вершина лежит по другую сторону от этой хорды, поэтому 
Следовательно, 
Подставляя значения тангенсов, находим:
получаем:
и вклад пролежал 
лет.
Итак, мы ищем корни лишь на этом промежутке. Одна из скобок должна быть равна нулю. Выясним сразу, при каких a есть x, обнуляющее обе скобки. Для это нужно, чтобы 
Но при 
левая часть отрицательна, а правая неотрицательна. Поэтому такое возможно лишь при 
и, соответственно, при 
и 
Если построить график 
то мы получим параболу с вершиной в 
и нас будет интересовать количество ее пересечений с прямой 
над отрезком 
Из картинки виден ответ:
нет решений;
1 решение;
2 решения;
1 решение;
нет решений.
Если 
то график 
можно построить, преобразовав уравнение к виду 
Значит, это будет верхняя полуокружность с центром в 
и радиусом 1 (полуокружность, поскольку 
). Если поменять знак у x, уравнение не изменится, поэтому можно сразу отразить эту полуокружность относительно вертикальной оси. Нас будет интересовать пересечение этих двух полуокружностей с параллельными прямыми вида 
Ясно, что при 
пересечений нет, при 
одно решение, при 
2 решения, при 
до момента касания с правой полуокружностью три решения, при касании два решения, далее до 
одно решение, при 
до момента касания с левой полуокружностью два решения, при касании одно решение, дальше решений нет.
2 решения;
2 решения (кажется, что 3, но два решения совпадают);
2 решения 
2 решения 
касается правой полуокружности. То есть расстояние от 
Второй ответ соответствует касательной, которая касается ненарисованной на нашей картинке нижней полуокружности.
или 
что невозможно, если чисел в группе меньше десяти.
Попробуем определить наименьшее возможное число, большее 
Его целая часть не меньше шести (есть пример, когда ровно шесть), а у дробной знаменатель не больше 8 (иначе в группе с этим средним не менее 10 чисел). Наименьшее из таких чисел это 
Для такого среднего нужна группа из восьми чисел с суммой 49. Останутся два числа с суммой 12, хотя бы одно из них будет не меньше семи. Следующее число это 
Его добиться можно, разбив числа на группы 
