PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527487 
Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.6 Логарифмические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Имеем: 
то есть 
и 
имеют одинаковые знаки. При этом 
поэтому 
Итак, x лежит в третьей четверти тригонометрического круга. Теперь мы можем упростить уравнение:
(второй набор решений не лежит в третьей четверти). Дляэтого набора все условия выполнены, в том числе не пригодившееся до сих пор 
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежит 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527487
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнение с модулем, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.6 Логарифмические уравнения
считая от вершины S.
Проведем через нее прямую, параллельную BE (а, следовательно, и AF). Она разделит отрезок SB в отношении 
по теореме Фалеса. Эта точка (K) лежит в сечении.
Она тоже будет лежать в сечении по причинам, аналогичным пункту A. Значит, сечение — шестиугольник 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ASK получаем 
получим 
Далее:
хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что 
площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.
поэтому 
Обозначим стороны треугольника 
Тогда 
По теореме косинусов для треугольника ABC в то же время имеем 
поэтому 
и 
Значит, a и b являются корнями квадратного уравнения 
(теорема Виета), поэтому они равны 
Будем считать, что 
тогда 
Из подобия, кроме того, 
По свойству пересекающихся хорд имеем 
и 
Далее:
и 
Прибавляя к этому уравнению удвоенное уравнение 
получим:
б) 
процентов, а на тот счет, который вкладчик имел в конце второго квартала, начисляется в конце этого квартала 
процентов, причем 
Вкладчик положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении 
— множитель, на который умножается вклад после первого квартала, а 
— размер вклада. Тогда множитель после второго квартала это 
Размер вклада по итогам двух кварталов составит:
то есть при 
и только их. Значит, 
(иначе неравенство не при всех x определено), то есть 
Далее, 
и 
(иначе основание логарифма будет неподходящим), поэтому 
и 
Заменим теперь 
на t и рационализируем неравенство:
Разберем случаи.
то знаменатель отрицателен, а числитель положителен при всех допустимых t.
то 
поэтому в одной из точек отрезка числитель будет равен 0.
то знаменатель положителен, а числитель отрицателен при всех допустимых t.
Пункт в) переборный, решается при помощи компьютера.
а загадывающий при каждом ходе отвечает так, чтобы отбросилось не более половины возможных загаданных чисел. Тогда после первого вопроса останется не менее 72 кандидатов, после второго — не менее 36, затем 18, затем 9, затем 5. Итак, нужно не менее шести (а на самом деле восьми) вопросов, поэтому для гарантированного угадывания придется получить минимум 
баллов.
— от того, что несколько больших чисел будут запрещены, нам может стать только легче угадать число. Обозначим за 
минимальное число баллов, достаточное для угадывания числа из x вариантов — очевидно, совершенно неважно, из каких именно x вариантов происходит угадывание. Ясно также, что 
(мы можем получить на наш первый же вопрос ответ «да»). 
и спрашиваем про первую группу. При ответе «да» пользуясь оптимальным алгоритмом, мы получим 
баллов, при ответе «нет» — 
баллов. Значит, для такого разбиения гарантирующее число баллов равно 
Перебирая все значения y от 1 до 
мы, естественно, выберем из них то, для которого этот максимум минимален. Итак, 
Тогда при 
имеем 
имеем 
а оптимальный алгоритм — первым вопросом спросить про множество из одного числа.
Но это очень долго, поэтому мы напряжем на этот перебор компьютерную программу:
Поэтому ответ 15.