Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зуя урав­не­ние, по­лу­ча­ем

Од­на­ко надо еще про­ве­рить, чтобы зна­ме­на­те­ли в ис­ход­ном урав­не­нии не об­ра­ща­лись в ноль.

Оста­ют­ся от­ве­ты

б)  На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  От­ме­тим, что точки пе­ре­се­че­ния пря­мых BD и AC, а также и   — цен­тры двух гра­ней  — лежат на пря­мой l, по­это­му пря­мая, про­хо­дя­щая через них, и есть пря­мая Оче­вид­но, она яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка по­это­му па­рал­лель­на На­ко­нец, по­сколь­ку про­ек­ция на грань   — пря­мая и

б)  Рас­смот­рим плос­кость Она пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой l, по­это­му можно ис­кать рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти с пря­мой l до пря­мой На­зо­вем эту точку Ясно, что если спро­еци­ро­вать ее на про­ек­ция по­де­лит в от­но­ше­нии а если на CD  — сов­па­дет с се­ре­ди­ной

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к но­во­му ос­но­ва­нию и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции, сразу от­ме­тив, что

от­ку­да

Окон­ча­тель­ный ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. а)   Здесь ис­поль­зо­ва­но, что по­сколь­ку эти углы опи­ра­ют­ся на диа­метр.

б)   от­ку­да по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

и

по­это­му и от­ку­да

По тео­ре­ме си­ну­сов тогда от­ку­да по­это­му В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHB имеем от­ку­да и

Далее, как опи­ра­ю­щи­е­ся на ону дугу KP в окруж­но­сти. Зна­чит, Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать вы­ра­же­ние от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ход­но­го де­ле­ни­ем на S и вы­чи­та­ни­ем еди­ни­цы. Возь­мем его про­из­вод­ную и по­лу­чим по­это­му функ­ция убы­ва­ет до и воз­рас­та­ет после. По­это­му наи­луч­шим ва­ри­ан­том для n будет либо либо Про­ве­рим оба ва­ри­ан­та.

Чис­ли­тель пер­вой дроби мень­ше, по­это­му берем Тогда пе­ре­пла­та со­ста­вит

Ответ: 8 дней, 27405 руб.

Ре­ше­ние. Если изоб­ра­зить на плос­ко­сти точки, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых под­хо­дят в пер­вое урав­не­ние, то по­лу­чит­ся фи­гу­ра, за­дан­ная не­ра­вен­ством Это либо внут­рен­ность круга с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом либо точка при

Ана­ло­гич­но, вто­рое не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде Это либо внут­рен­ность круга с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом либо точка при

Чтобы си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, нужно либо чтобы круги ка­са­лись внеш­ним об­ра­зом (то есть рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми было равно сумме ра­ди­у­сов), либо точка, изоб­ра­жа­ю­щая ре­ше­ния од­но­го не­ра­вен­ства, ле­жа­ла в круге, изоб­ра­жа­ю­щем дру­гое.

В пер­вом слу­чае

Ясно что при имеем Зна­чит,

При по­лу­ча­ем оно под­хо­дит.

При по­лу­ча­ем оно под­хо­дит.

Во вто­ром слу­чае точка под­хо­дит при во вто­рое не­ра­вен­ство, а точка не под­хо­дит при в пер­вое не­ра­вен­ство.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если хоть одна из цифр чис­ли­те­ля мень­ше хоть одной из цифр зна­ме­на­те­ля, то по­ме­няв их ме­ста­ми мы уве­ли­чим чис­ли­тель и умень­шим зна­ме­на­тель, уве­ли­чив тем самым дробь (сразу до­го­во­рим­ся, что если в чис­ли­те­ле был ноль, то мы пе­ре­ста­вим его не на пер­вое место). Зна­чит, в чис­ли­те­ле цифры от до а в зна­ме­на­те­ле - осталь­ные. Со­став­ляя мак­си­маль­ный чис­ли­тель и ми­ни­маль­ный зна­ме­на­тель, по­лу­ча­ем

б)  Да, это воз­мож­но, на­при­мер

в)  Сле­ду­ет взять До­ка­жем это.

Пусть дробь имеет вид где Тогда по­это­му можно счи­тать, что дробь пра­виль­ная. Пер­вая цифра чис­ли­те­ля мень­ше, чем пер­вая цифра зна­ме­на­те­ля, а осталь­ные цифры вы­год­но рас­пре­де­лить так - самые боль­шие в чис­ли­тель и упо­ря­до­чить по убы­ва­нию, осталь­ные - в зна­ме­на­тель и упо­ря­до­чить по воз­рас­та­нию (если за­ме­нить любое дру­гое рас­пре­де­ле­ние на такое, дробь толь­ко уве­ли­чит­ся).

Далее, если пер­вые цифры от­ли­ча­ют­ся более, чем на то чис­ли­тель и зна­ме­на­тель от­ли­ча­ют­ся более, чем на по­это­му дробь не боль­ше а мы уже знаем ответ лучше.

Тогда остав­ши­е­ся кан­ди­да­ты  — Пе­ре­би­рая их, на­хо­дим оп­ти­маль­ный ответ:

Ответ: а) б) в)