Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Зна­чит, либо либо Вто­рое дает и этот набор вклю­ча­ет в себя ре­ше­ния пер­во­го.

б)  На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но про­ек­ция на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния  — пря­мая DC, пер­пен­ди­ку­ляр­ная По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах что и тре­бо­ва­лось.

б)  Пусть T  — се­ре­ди­на AD, тогда по­это­му   — се­че­ние. Вы­чис­лим объем одной из ча­стей по фор­му­ле для объ­е­ма усе­чен­ной пи­ра­ми­ды.

по­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов Раз­ме­ры па­рал­ле­ле­пи­пе­да в этой за­да­че не­важ­ны.

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что тогда и При этих усло­ви­ях про­ве­дем ра­ци­о­на­ли­за­цию.

от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку D лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к AB, тре­уголь­ник ADB рав­но­бед­рен­ный и DO в нем  — ме­ди­а­на, бис­сек­три­са и вы­со­та.

Пусть тогда от­ку­да че­ты­рех­уголь­ник DOKB  — впи­сан­ный.

б)  Сразу за­ме­тим, что по­это­му тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный, по­это­му и Зна­чит, длина же са­мо­го се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра равна

Вы­чис­лим те­перь радус окруж­но­сти, впи­сан­ной в

Тогда

На­ко­нец,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим Тогда долг каж­дый год умно­жа­ет­ся на p, а га­сят­ся на­чис­лен­ные про­цен­ты и еще 0,4 мил­ли­о­на руб­лей из ос­нов­но­го долга. Зна­чит, самый боль­шой пла­теж будет пер­вым, а самый ма­лень­кий  — по­след­ним.

Зна­чит, и

Ответ: 19%.

Ре­ше­ние. Гра­фик левой части урав­не­ния пред­став­ля­ет собой не­сколь­ко со­еди­нен­ных кон­ца­ми от­рез­ков и лучей, по­сколь­ку функ­ция там  — ку­соч­но-ли­ней­ная (при любом рас­кры­тии мо­ду­лей по­лу­ча­ет­ся какая-то ли­ней­ная функ­ция). При левая часть стре­мит­ся к По­это­му для су­ще­ство­ва­ния ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы в одной из «точек со­чле­не­ния» зна­че­ние функ­ции не пре­вос­хо­и­ло пра­вой части. Под­ста­вим По­лу­чим

При : или

При :

При : учи­ты­вая что это воз­мож­но толь­ко при и то есть при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть эти числа a, b, c, x, d, e, f. По усло­вию

а)  Если то и это впол­не воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4. Дру­гой ва­ри­ант: 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14.

б)  Если то и что не­воз­мож­но  — по­лу­чить сумму без ис­поль­зо­ва­ния еди­ни­цы не­воз­мож­но. Зна­чит, среди чисел есть ми­ни­мум две еди­ни­цы.

в)  Пусть сред­нее равно N, тогда сумма равна и То есть оста­лось найти наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние Ясно, что при­чем это до­сти­га­ет­ся для на­бо­ра и по­сколь­ку иначе
Зна­че­ние до­сти­га­ет­ся для на­бо­ра 7, 3, 1, 37, 2, 4, 5.

Итак,

Ответ: а) 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4 или 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14, б) Нет, в)