Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

яв­ля­ет­ся кор­нем. При про­чих x по­лу­чим, по­де­лив на

(от­ри­ца­тель­ным x быть не может).

б)  Ни один из кор­ней не лежит на ука­зан­ном от­рез­ке, по­сколь­ку

Ответ: а) б) Нет ре­ше­ний.

Ре­ше­ние. а)  Пусть K  — се­ре­ди­на AC, тогда По­стро­им на BK точку O так, чтобы тогда O и будет цен­тром окруж­но­сти. По­сколь­ку все бо­ко­вые ребра на­кло­не­ны под оди­на­ко­вым углом к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то они все равны и вы­со­та пи­ра­ми­ды па­да­ет в точку При этом Зна­чит, по­это­му тре­уголь­ник BCO  — ост­ро­уголь­ный.

Про­ве­дем через O пря­мую,па­рал­лель­ную Пусть она пе­ре­се­ка­ет AB и BC в точ­ках K и Опу­стим из них пер­пен­ди­ку­ля­ры на BD, они упа­дут в одну точку (на­зо­вем ее H). Оче­вид­но KLH  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  

Ответ: б) 3.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку опи­ра­ет­ся на диа­метр MA, он пря­мой. Тогда тре­уголь­ник AFK тоже пря­мо­уголь­ный и се­ре­ди­на AK  — его центр опи­сан­ной окруж­но­сти. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки ABD и BMC равны по двум ка­те­там, а тре­уголь­ни­ки MBC и CDK равны по ка­те­ту и остро­му углу, то так что цен­т­ро окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка D и

б)  

Ответ: б) 29.

Ре­ше­ние. До­пу­стим было x уче­ни­ков вто­ро­го, y тре­тье­го и z чет­вер­то­го клас­сов. Они ра­бо­та­ли часов и со­бра­ли
Зна­чит, надо мак­си­ми­зи­ро­вать Оче­вид­но или иначе в ра­вен­стве не сой­дет­ся оста­ток от де­ле­ния на три. Если то и а если то (можно взять ) и при­чем это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся и дает ответ ки­ло­грамм. Итак, был один вто­ро­класс­ник, пять тре­тье­класс­ни­ков и два чет­ве­ро­класс­ни­ка.

Ответ: 1  — вто­рой, 5  — тре­тий, 2  — чет­вер­тый клас­сы.

Ре­ше­ние.   — квад­рат­ный трех­член. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние он при­ни­ма­ет либо на кон­цах от­рез­ка (в том, ко­то­рый ближе к точке ми­ни­му­ма, если она не лежит на от­рез­ке), либо в точке если она лежит на от­рез­ке.

Слу­чай 1. Тогда Ясно что при точка ми­ни­му­ма лежит на от­рез­ке, по­это­му оно не под­хо­дит. под­хо­дит, по­сколь­ку ближе к чем к

Слу­чай 2. Тогда Ясно что при точка ми­ни­му­ма лежит на от­рез­ке, по­это­му оно не под­хо­дит. под­хо­дит, по­сколь­ку ближе к чем к

Слу­чай 3. Тогда Тогда не лежит на от­рез­ке.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер дает нуж­ное зна­че­ние.

б)  Нет. Если бы это было воз­мож­но, то вы­пол­ня­лось бы ра­вен­ство При в этих двух чис­лах вме­сте не более пяти цифр, при   — не менее семи. Ва­ри­ан­ты от до можно пе­ре­брать.

в)  Ответ

Если d ми­ни­мум че­ты­рех­знач­ное, то ответ не боль­ше Зна­чит, можно счи­тать их оба трех­знач­ны­ми.

Если то При по­лу­ча­ем по­это­му оста­лось про­ве­рить толь­ко Но в встре­ча­ют­ся три цифры, а в сле­ду­ю­щих дро­бях ми­ни­мум по че­ты­ре де­вят­ки  — в на­ча­ле и чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля по две.