Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чая имеем или (что не­воз­мож­но). Зна­чит,

б)  На ука­зан­ном от­рез­ке лежат

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  До­стро­им пи­ра­ми­ду до куба Тогда ука­зан­ная плос­кость  — это плос­кость ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на глав­ной диа­го­на­ли куба.

б)  Оче­вид­но в се­че­нии лежат точки пе­ре­се­че­ния линий SD и а также и На­зо­вем из и Тогда се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник с пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми (по­сколь­ку и ). Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. ОДЗ не­ра­вен­ства  — Пре­об­ра­зу­ем его на ОДЗ и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции.

Все эти x лежат в ОДЗ, по­это­му это окон­ча­тель­ный ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть По тео­ре­ме Фа­ле­са и Зна­чит, По свой­ству бис­сек­три­сы от­ку­да что и тре­бо­ва­лось.

б)  За­ме­тим, что по свой­ству бис­сек­три­сы. Зна­чит,

Ответ: б) 96.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим цену пер­во­го па­ке­та за S, тогда цена вто­ро­го 4S, тре­тье­го 5S. Обо­зна­чим число акций в пер­вом па­ке­те за x, во вто­ром за y, в тре­тьем за x + y.

По усло­вию Нужно найти наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния То есть Зна­чит, нужно уста­но­вить гра­ни­цы вы­ра­же­ния Обо­зна­чим его за t. Сразу от­ме­тим, что

По­де­лим одно вы­ра­же­ние на дру­гое. Тогда имеем:

Пер­вое не­ра­вен­ство сво­дит­ся к от­ку­да Вто­рое не­ра­вен­ство сво­дит­ся к от­ку­да По­это­му Итак, ответ от 12,5% до 15%.

Оста­лось еще по­ка­зать, что такие зна­че­ния воз­мож­ны. Оче­вид­но, для этого все не­ра­вен­ства долж­ны об­ра­тить­ся в ра­вен­ства.

Для 12,5% возь­мем, на­при­мер Тогда нужно, чтобы и что вы­пол­ня­ет­ся од­но­вре­мен­но при

Для 15% возь­мем, на­при­мер Тогда нужно, чтобы и что вы­пол­ня­ет­ся од­но­вре­мен­но при

Ответ: 12,5% до 15%.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим и по­лу­чим урав­не­ние

Гра­фик левой части  — стан­дарт­ная па­ра­бо­ла. Гра­фик пра­вой  — «га­лоч­ка» с вер­ши­ной в точке и уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том Как видно из кар­тин­ки, при есть три корня и в си­ту­а­ции ка­са­ния есть три корня. Пусть тогда нужно, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­ный ко­рень. При­рав­ни­вая к нулю его дис­кри­ми­нант, по­лу­ча­ем Ана­ло­гич­но при ка­са­ние будет с дру­гой сто­ро­ны.

Ответ:

Ре­ше­ние. До­пу­стим, они фо­то­гра­фи­ро­ва­ли k дней, тогда раз­ни­ца между сде­лан­ны­ми фо­то­гра­фи­я­ми со­став­ля­ет

а)  Да, на­при­мер при

б)  Нет, не де­лит­ся на 6.

в)  Чтобы у На­та­ши по­лу­чи­лось как можно боль­ше фо­то­гра­фий, надо чтобы у Маши по­лу­чи­лось как можно боль­ше фо­то­гра­фий. Если у нее в по­след­ний день не 29  — до­ба­вим ей по­ров­ну фо­то­гра­фий в каж­дый день так, чтобы стало 29. За­ме­тим далее, что k  — де­ли­тель числа 1615, не боль­ший 30, то есть 1, 5, 17, 19. Если они фо­то­гра­фи­ро­ва­ли мень­ше 19 дней  — до­ба­вим Маше не­до­ста­ю­щие дни в на­ча­ло. Итак, оп­ти­маль­ный ва­ри­ант для Маши  — на­чать с 11 и фо­то­гра­фи­ро­вать 19 дней. По­это­му у На­та­ши будет фо­то­гра­фий.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1995.