PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 521210 
Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Рациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Решите уравнение: 
Решение. 
Ответ:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
521210
по теореме Пифагора. Тогда: 
Тогда 
Значит, в прямоугольном треугольнике SOD имеем: 
Поскольку площадь ABC фиксирована, нужно максимизировать площадь ACD, то есть высоту 
Проведем окружность с центром O и радиусом 
а к ней касательную, параллельную 
Ясно, что наибольшее расстояние от точки D на этой окружности до AC будет, когда D — точка касания (точнее, так будет, потому что мы рассматриваем не всю окружность, а только дугу, заданную пересечением с окружностью продолжений BA и BC, поскольку только для точек на этой дуге ABCD будет выпуклым). При этом продолжение высоты будет проходить через точку O (и точку B) и: 
б) 
Получим:
где 
и 
Выражая c из первого уравнения и подставляя во второе, получим:
Пусть 
тогда:
Значит, надо максимизировать 
Поскольку 
имеем 
Это возможно — если купить 
долларов, 
евро и 
фунтов.
(то есть 
или 
) — уравнение выполняется. Остальные корни должны обнулять вторую скобку и при этом находиться в промежутке 
чтобы 
был определен (концы отрезка запрещены, эти корни уже есть).
Отметим, что аргумент косинуса пробегает значения 
и косинус там принимает один раз значение 1 и значения в промежутке 
и два раза принимает значения в промежутке 
Значит, уравнение 
значения 
Имеем:
при 
(по 
при 
(по 
корню);
при 
(по 
при 
(по 
оно дает один корень исходного уравнения и нам не подходит. Если первое t дает два корня, то второе — не меньше одного и наоборот, как видно из рассмотрения промежутков. Остается только случай, когда оба дают по одному корню.
или 
И все числа с данным остатком лежат в этой прогрессии (она начинается с отрицательных чисел, поэтому не может пропустить первые несколько. Рассмотрим остатки от деления числа на 
Ясно, что зная этот остаток, можно узнать остатки от деления на 
тоже были одинаковы.
наборов остатков от деления на 3, 5, 7 — при делении на каждое k есть k возможных остатков. Как мы знаем, каждому остатку от деления на 
которому соответствует наш набор. Это число будет во всех прогрессиях.
поэтому подходящими числами будут 
натурального числа подряд обязательно встретятся все