Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 3 и 3 най­дем квад­рат ра­ди­у­са круга: см² (см. рис. 1). Пло­щадь фи­гу­ры равна трем вось­мым пло­ща­ди этого круга (см. рис. 2). По­это­му

Ответ: 6,75.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, по­это­му

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длины на ши­ри­ну. По­это­му см².

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр окруж­но­сти, яв­ля­ет­ся пря­мым, зна­чит, AB − диа­метр.

Ответ: 43.

Ре­ше­ние. Пусть точка О  — центр окруж­но­сти. Тре­уголь­ник АОВ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом при вер­ши­не 60° (см. рис.), по­это­му этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний. Ра­ди­ус ОН впи­сан­ной в ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти яв­ля­ет­ся вы­со­той, бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка АОВ, по­это­му:

Ответ: 2.

При­ведём ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Вос­поль­зу­ем­ся со­от­но­ше­ни­ем между сто­ро­ной пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка и ра­ди­у­сом впи­сан­ной в него окруж­но­сти:

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит,

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Объем пря­мой приз­мы равен где S − пло­щадь ос­но­ва­ния, а h − бо­ко­вое ребро. Тогда длина ее бо­ко­во­го ребра равна

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Объем куба с реб­ром a равен Если ребра уве­ли­чить в раз, то объем куба уве­ли­чит­ся в раз.

Ответ: 3375.

Ре­ше­ние. а)  Пусть от­рез­ки LK и MO  — вы­со­ты пи­ра­мид LADE и MABC со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки ALK и AMO по­доб­ны, по­это­му Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ADE и ACB от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ния сто­рон, со­дер­жа­щих угол A, то есть как

Тогда

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

Зна­чит, от­ре­зок DE делит ме­ди­а­ну, про­ведённую из вер­ши­ны A, в от­но­ше­нии 2 : 1, то есть со­дер­жит точку O. Кроме того, точка O  — се­ре­ди­на DE.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AMO. В нём Опу­стим из точки L пер­пен­ди­ку­ляр LK на сто­ро­ну AO. Тогда

Зна­чит,

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник DLE  — ис­ко­мое се­че­ние, а LO  — его вы­со­та. Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна

Ответ: б)