PDF-версии: 1. Тип 13 № 517262 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Используя формулы приведения, получим уравнение, квадратное относительно косинуса:
б) Отрезку 
принадлежат корни 
и 
(см. рис.).
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 517262
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
меньше его диагонали, ребро данного куба равно 
Тогда точки B, D, C1 имеют координаты 
соответственно.
Тогда точка P имеет координаты 
Тогда 
Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.
Раcстояние от точки P до точки A равно
и 
: 
и 
Отсюда вычислим 
:
и 
и 
:
и 
Все ребра равны, значит, PDBC1 — правильный тетраэдр. 
:
Следовательно, 
как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D правильный.
ABCD — квадрат, поэтому имеем: 
как накрест лежащие и 
как вертикальные, получаем: 
по двум углам, тогда 
прямоугольный, тогда 
откуда 
поскольку 
верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC прямоугольный, ∠M = 90°.
и 
— правильный, поэтому M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.
по теореме косинусов 
поэтому 
— правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.
по теореме косинусов 
тогда вокруг ACNM можно описать окружность, тогда 
как угол, опирающийся на одну дугу, что и требовалось доказать.
тогда 
и 
а неравенство 
задаёт часть плоскости выше параболы с вершиной (−4; −4), ветви которой направлены вверх. Найдём координаты точки A пересечения параболы с прямой 
соответствует точке пересечения, лежащей во второй четверти. Для большего корня справедливы неравенства:
находим: 
— наименьшее, 
— наибольшее из записанных чисел. Поскольку все 10 чисел различны, 
Поскольку числа отличаются не более чем в 3 раза, 
откуда 
Следовательно, наименьшее из записанных чисел не меньше 5. Но тогда сумма записанных чисел не меньше суммы членов арифметической прогрессии 5 + 6 + ... + 14 = 10 · (5 + 14)/2 = 95. Противоречие.