Ре­ше­ние. При­об­ре­тая жур­на­лы по­штуч­но Аня по­тра­ти­ла 25 · 24  =  600 руб. Таким об­ра­зом, если бы Аня под­пи­са­лась на жур­нал, она по­тра­ти­ла бы на 600 − 450  =  150 руб. мень­ше.

Ответ: 150.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что было 4 ме­ся­ца с тем­пе­ра­ту­рой ниже нуля (см. рис.).

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и че­ты­рех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка. По­это­му

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия A = «уча­щий­ся решит 8 задач» и В = «уча­щий­ся решит боль­ше 8 задач». Их сумма  — со­бы­тие A + B = «уча­щий­ся решит боль­ше 7 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,64 = P(A) + 0,58, от­ку­да P(A) = 0,64 − 0,58 = 0,06.

Ответ: 0,06

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние.

Ответ: 49.

При­ве­дем ре­ше­ние Дани Хик­ка­но­ва.

В тре­уголь­ни­ке ABC

В тре­уголь­ни­ке ACF

В тре­уголь­ни­ке AOF

Ре­ше­ние. Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

Тогда на­хо­дим:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: −1,5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях плот­но­сти воды и уско­ре­нии сво­бод­но­го па­де­ния:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на p про­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на от­ку­да имеем:

Таким об­ра­зом, цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но умень­ша­лась на 10%.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем ее про­из­вод­ную:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке, и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при любом За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, либо от­ку­да или либо от­ку­да или

б)  По­сколь­ку от­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASC. Про­ек­ция пря­мой SB на плос­кость ABC это пря­мая OB, где O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. так как диа­го­на­ли квад­ра­та пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, а зна­чит и

б)  Про­ведём из точки B пер­пен­ди­ку­ляр BQ к MK, Q  — се­ре­ди­на MK. Точка Q яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной вы­со­ты SO. Пря­мая MK па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей, QB⊥MK, OB⊥MK. Сле­до­ва­тель­но, ∠QBO  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Найдём QO:

Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: от­ку­да на­хо­дим ре­ше­ние не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем через вер­ши­ну A пря­мую, па­рал­лель­ную BC. Пусть T  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой CO, а M  — точка пе­ре­се­че­ния AB и CT. Тре­уголь­ник AOT по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му AT  =  3CD  =  24. Зна­чит, тре­уголь­ник AMT равен тре­уголь­ни­ку BMC по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. Тогда M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Сле­до­ва­тель­но, CM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC.

Через вер­ши­ну C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную AB. Пусть Q  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой AO. Тре­уголь­ник CDQ по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му Тогда тре­уголь­ни­ки AMO и QCO равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам. По­это­му O  — се­ре­ди­на CM. 

Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C, и при этом OM  =  OC. Сле­до­ва­тель­но, OM  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, а точка M  — одна из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти.

Пусть N  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с пря­мой AB. Тогда угол CNM  — впи­сан­ный и опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

От­сю­да

Ответ: 12,5 или 6,72.

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му в виде

Если а ≠ 1, а ≠ 2 , то каж­дое урав­не­ние си­сте­мы есть урав­не­ние окруж­но­сти. В этом слу­чае си­сте­ма не имеет ре­ше­ний тогда и толь­ко тогда, когда рас­сто­я­ние между цен­тра­ми этих окруж­но­стей боль­ше суммы или мень­ше раз­но­сти их ра­ди­у­сов. При а  =  1 имеем си­сте­му

Эта си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. Сле­до­ва­тель­но, а  =  1 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. При а  =  2 имеем си­сте­му

Эта си­сте­ма тоже ре­ше­ний не имеет. Сле­до­ва­тель­но, и а  =  2 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Пусть а ≠ 1, а ≠ 2. Рас­сто­я­ние O₁O₂ между цен­тра­ми и равно а ра­ди­у­сы и Решим два не­ра­вен­ства: (1) и (2)

Не­ра­вен­ство (1) имеет вид не­ра­вен­ство (2) имеет вид Ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства (1) яв­ля­ют­ся про­ме­жут­ки и Ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства (2) яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся числа 6222 и 6219.

б)  Пред­по­ло­жим, что такие числа су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим какие-⁠либо два таких ин­те­рес­ных числа. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них, а k  — та из цифр a, b, c или d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел равна d − 1. Так как c ≠ 0, тре­тья цифра этого числа равна c − 1.

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что вто­рая цифра этого числа равна b − 1. На­ко­нец, пер­вая цифра этого числа равна a. Зна­чит, сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел на три мень­ше суммы чисел боль­ше­го из них. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­ме­ры ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 2, 3, 5, и 7: число 2114 крат­но 2 и 7, число 9135 крат­но 3 и 5.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-⁠либо ин­те­рес­но­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число b − a + d − c крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо b + d  =  a + c, либо эти две суммы от­ли­ча­ют­ся на 11. Со­ста­вим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих, l  — та из них, ко­то­рая в паре с k. Пусть m и n  — две остав­ши­е­ся из цифр a, b, c и d. По­сколь­ку k  =  l + m + n, имеем k + l > m + n. Зна­чит, k + l  =  m + n + 11. Вы­чи­тая из этого ра­вен­ства ра­вен­ство k  =  l + m + n, по­лу­ча­ем l  =  11 − l . Сле­до­ва­тель­но, 2l  =  11. При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, не су­ще­ству­ет ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  да, на­при­мер 6222 и 6219; б)  нет; в)  11.