1. Тип 13 № 514505 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 
Ответ: a) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: a) б)
б) 514505
a) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
а объём призмы равен 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
и 
имеют одинаковые знаки. Поэтому при условиях 
при любых значениях x. Значит, выражение 
положительно при 
отрицательно при 
и не определено при 
и 
выражение 
положительно, а при 
исходное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
Таким образом, решение исходного неравенства: 
следовательно, точки A, B1, O и C1 лежат на одной окружности.
как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO1C1 и C1O2B равны. Кроме того, треугольник O2C1O1 также равен этим треугольникам, поскольку
Аналогично 
поэтому треугольник O1O2O3 подобен треугольнику ABC с коэффициентом 
и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.
поэтому 
Значит, r = 3. Искомый радиус равен 
а в конце — 
В начале четвёртого года вклад составит 
а в конце — 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.).
задаёт прямую, параллельную прямой 
или совпадающую с ней.
пересекает правую ветвь гиперболы 
при 
При этом прямая 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
Значит, Петин результат не может быть ровно в 6 раз больше Васиного.
раза. Наибольшее целое число, не большее 
— это 3.