Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 77473

Найдите наименьшее значение функции y=x плюс дробь, числитель — 36, знаменатель — x на отрезке  левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'=1 минус дробь, числитель — 36, знаменатель — {{x в степени 2 }}.

Найдем нули производной:

 система выражений  новая строка 1 минус дробь, числитель — 36, знаменатель — x в степени 2 =0,  новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 9. конец системы . равносильно система выражений x в степени 2 =36, 1 меньше или равно x меньше или равно 9 конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений x=6,  новая строка x= минус 6, конец системы .  новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 9 конец совокупности . равносильно x=6.

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x=6 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: y(6)=6 плюс 6=12.

 

Ответ: 12.

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Иван Беляков 18.09.2017 20:09

Ошибка в решении. Концы надо обязательно подставлять. Иначе возможна ситуация, когда концы больше найденного локального минимума. Полагаю, проверка таких случаев осталось "за кадром", судя, например, по решению этого номера: math-ege.sdamgia.ru/problem?id=77470, где проверка была выполнена и в конечном итоге повлияла на ответ. Считаю важным в решении расписывать подобные ситуации, дабы не распространять подобные ошибки.

Александр Иванов

Иван, ошибки в решении нет.

Есть два способа:

1. Не исследуя функцию на монотонность, найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать наименьшее.

2. Исследовать функцию на монотонность и найти значения только в тех точках, которые претендуют на наименьшее значение в них.

В решении задания 77470 избрали первый способ.

А в данное задание решали вторым способом. В решении показано, что наименьшее значение не может быть на концах отрезка.