Тип 14 № 681298 
Стереометрическая задача. Сечения пирамид
i
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 3, а боковое ребро SA равно 5. На ребре AC отмечена точка M, а на продолжении ребра BC за точку C — точка N так, что CM = CN = 1.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью SNM является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью SNM.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На ребре AC отмечена точка M, а на продолжении ребра BC за точку C — точка N так, что CM = CN = 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью SNM является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью SNM.
а) Пусть прямая MN пересекает ребро AB в точке K. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KM:
откуда AK = 2 и KB = 4. Заметим далее, что углы ACS и BAS равны, а также AK = CM = 2, AS = CS из условия. Следовательно, треугольники ASK и CSM равны, а потому равны и отрезки SK и SM. Таким образом, искомое сечение — треугольник SKM — является равнобедренным по определению.
б) По теореме косинусов в равнобедренному треугольнике SAB:
Аналогично для треугольников SMC и AKM получаем:
Высоту SH треугольника найдем по теореме Пифагора для треугольника SHM:
Наконец, найдем площадь сечения:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 
681298
б) 
PDF-версии: