РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Приведите пример такого натурального числа n, что числа n² и (n + 22)² дают одинаковый остаток при делении на 50.

б)  Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а) свойством?

в)  Сколько существует двузначных чисел $m меньше 50,$ для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n² и (n + m)² одинаковый остаток при делении на 50?

Решение. a)  Например, пусть n  =  14. Имеем $14 в квадрате = 196,$ $левая круглая скобка 14 плюс 22 правая круглая скобка в квадрате = 36 в квадрате = 1296.$ Эти числа дают остаток 46 при делении на 50.

б)  Пусть n² и (n + 22)² дают одинаковый остаток при делении на 50. Тогда число

$левая круглая скобка n плюс 22 правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате = 22 левая круглая скобка 2n плюс 22 правая круглая скобка = 44 левая круглая скобка n плюс 11 правая круглая скобка$

должно делиться на 50. Это будет выполнено тогда и только тогда, когда n + 11 делится на 25. Значит, все искомые n имеют вид $n = 25p плюс 14,$ где p  — натуральное число или 0, и удовлетворяют неравенствам $100 меньше или равно n меньше 1000.$ Решая неравенства относительно p, получаем $4 минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 25 конец дроби меньше или равно p меньше 40 минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 25 конец дроби ,$ где $p = 4, 5, \ldots, 39,$ то есть ровно 36 различных решений, каждому из которых соответствует единственное искомое число n.

в)  Пусть n² и (n + m)² дают одинаковый остаток при делении на 50. Тогда число

$левая круглая скобка n плюс m правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате = m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка$

должно делиться на 50. Наибольший общий делитель d чисел m и 50 может равняться 1, 2, 5, 10 или 25. Чтобы $m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка$ делилось на 50, необходимо и достаточно, чтобы число $2n плюс m$ делилось на $дробь: числитель: 50, знаменатель: d конец дроби .$ Если d  =  1, 5 или 25, то m нечётно и таких n не существует. Если m чётно, то для некоторого натурального k имеем m  =  2k, и условию удовлетворяют те и только те трёхзначные n, для которых $2 левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка$ делится на $дробь: числитель: 50, знаменатель: d конец дроби .$ При d  =  2 таких n существует ровно 36, так как подходящими будут те и только те n, при которых n + k делится на 25 (решение аналогично пункту б).

б). При d  =  10 таких чисел n будет больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых n + k делится на 5. Значит, условию задачи удовлетворяют чётные двузначные числа $m меньше 50,$ не кратные 5. Так как чётных двузначных чисел существует $дробь: числитель: левая круглая скобка 50 минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = 20$ и 4 из них кратны 5, получаем, что подходящих чисел m существует ровно 16.

Ответ: а)  14, б)  36, в)  16.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	674803	а)  14, б)  36, в)  16.

Ключ