ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 661785 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x плюс корень из 2 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 = 0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Применим формулу приведения и выполним преобразования:

$2 косинус в квадрате x плюс корень из 2 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс корень из 2 синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс корень из 2 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс корень из 2 синус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс корень из 2 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс корень из 2 синус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс корень из 2 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс корень из 2 синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс корень из 2 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус корень из 2 синус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс корень из 2 синус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Найдем: $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $2 Пи ,$ $3 Пи .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $2 Пи ,$ $3 Пи .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 529578: 658798 658884 660675 ... Все

Источник: ЕГЭ по математике 05.07.2024. Добровольная пересдача. Санкт-Петербург. Вариант 401

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Методы алгебры: Формулы приведения, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь