Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 658888
i

В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­на вы­со­та CH. Окруж­ность с цен­тром H и ра­ди­у­сом HC вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, CD  — диа­метр этой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что \angle MDN = \angle CAB плюс \angle ABC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если AB = 15 ко­рень из 2 , CM : MA  =  3 : 17 и CN : NB  =  3 : 7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  Четырёхуголь­ник CMDN впи­сан в окруж­ность, по­это­му

\angle MDN=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle MCN=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle ACB=\angle CAB плюс \angle CBA.

б)  Впи­сан­ные углы CMN и CDN опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, по­это­му \angle C M N=\angle C D N. Впи­сан­ный угол CND опи­ра­ет­ся на диа­метр CD, сле­до­ва­тель­но, угол CND пря­мой.

У пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков CND и CHB общий ост­рый угол при вер­ши­не C, по­это­му \angle CBH=\angle CDN=\angle CMN. Тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку NMC по двум углам, зна­чит, дробь: чис­ли­тель: CN, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: BC конец дроби . По­ло­жим: CN  =  3a, NB  =  7a, MA  =  17b, CM  =  3b, тогда дробь: чис­ли­тель: 3a, зна­ме­на­тель: 20b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3b, зна­ме­на­тель: 10a конец дроби , от­ку­да дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Зна­чит, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и NMC равен

дробь: чис­ли­тель: CN, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3a, зна­ме­на­тель: 20b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, дробь: чис­ли­тель: MN, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CN, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , тогда MN= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби AB= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: б)  4,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 628753: 628779 658847 658888 Все

Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026