РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 642954 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 401 (часть 2);

Задания 14 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Решение. Преобразуем неравенство, применив формулу разности квадратов:

Воспользуемся методом рационализации и заменим разность логарифмов на разность их аргументов, учитывая, что основание логарифма больше 1:

$система выражений левая круглая скобка x минус 4 минус левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 6 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0,x минус 4 больше 0, x минус 6 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 10x плюс 23, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0,x больше 4, x больше 6 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 5 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , конец системы . x больше 6 конец совокупности . равносильно 6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $система выражений левая круглая скобка x минус 4 минус левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 6 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0,x минус 4 больше 0, x минус 6 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 10x плюс 23, знаменатель: x минус 6 конец дроби меньше или равно 0,x больше 4, x больше 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 5 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , конец системы . x больше 6 конец совокупности . равносильно 6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Приведём другой способ.

$логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка \leqslant0 , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец системы . система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка . конец системы . конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка \leqslant0 , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец системы . система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка . конец системы . конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка \leqslant0 , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец системы . система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка . конец системы . конец совокупности .$

Первое неравенство первой системы не имеет решений, значит, совокупность равносильна второй системе:

$система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений x минус 4 больше или равно x минус 6 больше 0,0 меньше x минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 6 конец системы . равносильно система выражений x минус 6 больше 0,x минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 6,x в квадрате минус 10x плюс 23 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x больше 6,5 минус корень из 2 меньше или равно x меньше или равно 5 плюс корень из 2 конец системы . равносильно 6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений x минус 4 больше или равно x минус 6 больше 0,0 меньше x минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x минус 6 больше 0,x минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 6 конец системы . равносильно система выражений x больше 6,x в квадрате минус 10x плюс 23 меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 6,5 минус корень из 2 меньше или равно x меньше или равно 5 плюс корень из 2 конец системы . равносильно 6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x минус 4 больше или равно x минус 6 больше 0,0 меньше x минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 6 конец системы . равносильно система выражений x минус 6 больше 0,x минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 6,x в квадрате минус 10x плюс 23 меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 6,5 минус корень из 2 меньше или равно x меньше или равно 5 плюс корень из 2 конец системы . равносильно 6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Приведём ещё один способ.

Решим неравенство методом интервалов.

1.  Найдём ОДЗ неравенства:

$система выражений x минус 4 больше 0,x минус 6 больше 0 конец системы . равносильно x больше 6.$

2.  Найдём корни, решив соответствующее уравнение:

3.  Отметим ОДЗ и корень на одной оси и проверим каждый из получившихся интервалов:

Из интервала $левая круглая скобка 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ подставим в исходное неравенство $x=9$ :

$логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 9 минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 9 минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате 5 меньше или равно 1$   — неверно.

Из интервала $левая круглая скобка 6; 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$ подставим в исходное неравенство $x=6 \tfrac13$ :

$логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 6 \tfrac13 минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 6 \tfrac13 минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате 2 \tfrac13 меньше или равно 1$   — верно.

Таким образом, получаем ответ $6 меньше x меньше или равно 5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$ $левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$ $левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

642954

$левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 401 (часть 2);

Задания 14 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642954	$левая круглая скобка 6;5 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$