PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до 
Решение. а) Пусть отрезки NB и MC пересекаются в точке E. Прямоугольные треугольники NAB и MBC равны по двум катетам, значит,
Отрезок BN — проекция отрезка 
на плоскость ABC. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Пусть плоскость α пересекает ребро CD в точке L. Прямые NL и CM, лежащие в плоскости ABC, параллельны, поскольку прямая NL лежит в 
a значит, прямоугольные треугольники
Заметим, что 
поскольку прямая B1N перпендикулярна прямой NL, параллельной прямой CM. Пусть ребро куба равно a. Получаем:
откуда
Выразим объём пирамиды CNLB1 двумя способами:
где x — расстояние от точки C до плоскости α. Из равенства 
получаем: 
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B (см. рис.). Пусть ребро куба равно a. В этой системе координат имеем:
Найдем скалярное произведение векторов 
и 
б) Найдем ребро куба. В прямоугольном треугольнике ABN по теореме Пифагора находим:
В прямоугольном треугольнике BB1N по теореме Пифагора находим:
поэтому 
откуда 
то есть и тогда 
Найдем вектор нормали 
к плоскости α, уравнение которой запишем в виде 
Нормаль перпендикулярна вектору 
а потому их скалярное произведение равно нулю: 
Подставим в уравнение плоскости координаты точек N, B1 и решим систему уравнений:
Положим, 
тогда 
Найдем расстояние от точки C до плоскости α:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |