Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй — 110, в третьей — 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй — 110, в третьей — 111, а в четвёртой — 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Пусть 2 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 107 камней, во второй — 108 камней, в третьей — 109 камней, а в четвёртой — 6 камней. Если после этого переложить камни из первой, третьей и четвёртой коробок во вторую, то в первой коробке окажется 106 камней, во второй — 111, в третьей — 108, а в четвёртой — 5. Если после этого переложить камни из первой, второй и четвёртой коробок в третью, то в первой коробке окажется 105 камней, во второй — 110, в третьей — 111, а в четвёртой — 4.
б) Если в первой коробке оказалось 330 камней, то во второй, в третьей и в четвёртой коробках не осталось камней.
Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b, c и d камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо a − 1, b − 1, c − 1 и d + 3 камня, либо a − 1, b − 1, c + 3 и d − 1 камень, либо a − 1, b + 3, c − 1 и d − 1 камень, либо a + 3, b − 1, c − 1 и d − 1 камень соответственно. Заметим, что разность между количествами камней во второй и в третьей коробках либо не изменилась, либо изменилась на 4. Сначала разность количеств камней во второй и в третьей коробках равнялась 1. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в первой коробке не могло оказаться 330 камней.
в) Сначала разность количеств камней в любых двух коробках не делится на 4. Следовательно, ни в какой момент в двух коробках не могло оказаться одинаковое число камней. Значит, во второй, в третьей и в четвёртой коробках не меньше 0 + 1 + 2 = 3 камней суммарно, а в первой коробке не больше 327 камней.
Покажем, что в первой коробке могло оказаться 327 камней. Пусть 28 раз из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказался 81 камень, во второй — 82, в третьей — 83, а в четвёртой — 84. Если после этого 82 раза переложить камни из второй, третьей и четвёртой коробок в первую, то в первой коробке окажется 327 камней, во второй — 0 камней, в третьей — 1 камень, а в четвёртой — 2 камня.
Ответ: а) да; б) нет; в) 327.