PDF-версии: 
Вне плоскости правильного треугольника ABC расположена точка D, причем 
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если AB = 2.
Решение. а) Пусть H — проекция точки D на плоскость ABC, M и N — проекции точки H на прямые AC и AB соответственно. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые DM и AC перпендикулярны, прямые DN и AB перпендикулярны,
следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH — биссектриса угла BAC. Следовательно, прямые AH и BC перпендикулярны, и, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC также перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть K — точка пересечения прямых AH и BC. Прямые AK и BC перпендикулярны, прямые DH и BC также перпендикулярны, тогда прямая BC перпендикулярна плоскости ADK, а высота KE треугольника AKD является искомым расстоянием. Угол HAM равен 30°, тогда
Следовательно, 
Окончательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |