PDF-версии: 
Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму S.
а) Может ли быть 
?
б) Может ли быть 
?
в) Найдите наибольшее целое S, если все четыре числа лежат в отрезке от 400 до 999 включительно.
Решение. а) Да. Например,
б) Нет. Допустим, это возможно. Сразу заметим, что для любого n-значного числа результат деления на первую цифру не меньше 
и не больше 
поэтому среди наших чисел нет четырехзначных, но есть трехзначные. Поскольку знаменатель 72 может появиться только при сложении дробей со знаменателями 8 и 9, эти четыре числа имеют среди своих первых цифр и 8, и 9, поэтому среди них точно есть 899 и 900. Тогда максимально возможная сумма составит
в) Если все эти числа начинаются с одной и той же цифры x, то сумма равна
что не может быть целым при x = 4. Кроме того, сумма числителей не превосходит
значит, сумма не превосходит
Этот ответ достигается для чисел 596, 597, 598, 599. Если же первые цифры могут быть различными, то одно из чисел кратно 100, поэтому результат деления его на первую цифру это 100. Любой другой результат не превосходит
поэтому сумма четырех результатов не превосходит 
Ответ: а) да; б) нет; в) 478.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в. | 3 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен. | 2 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |