PDF-версии: 
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7, 
Решение. а) Рассмотрим треугольники BCN и BAM. По условию AM = AD = BC, AB = CD = CN. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы MAB и BCN. Таким образом, треугольники BNC и BAM равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому равны и их соответственные стороны BN и BM.
б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, тогда равны их диагонали, поэтому AC = BM = BN = 7. Имеем:
Тогда
\sqrt{x} Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:
Ответ: 
Приведем решение Константина Чекулаева.
Проведём биссектрисы, медианы и высоты AT и CP в равнобедренных треугольниках MAD и DCN. Тогда углы ATC и APC в четырёхугольнике ATPC прямые и опираются на одну сторону AC, значит, этот четырехугольник вписанный. Углы BAD и CDP равны, поэтому 
откуда
Применим теорему синусов к треугольнику TCP, получим 
Окружность, описанная вокруг треугольника TCP, также описана вокруг четырёхугольника TACP, а угол ATC — прямой и вписанный в эту окружность. Следовательно, он опирается на диаметр AC, равный 7, по условию. Тогда 
а это средняя линия в треугольнике MDN. Таким образом, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |