PDF-версии: 
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, 
Решение. а) Рассмотрим треугольники NAB и BCM. По условию AN = AD = BC, AB = CD = CM. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы NAB и BCM. Таким образом, треугольники NAB и BCM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны соответственные стороны BN и BM этих треугольников. Это и требовалось доказать.
б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, поэтому равны их диагонали. Тогда 
Имеем:
Отсюда
Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:
а тогда 
Ответ: 
Примечание.
Рассматривая аналогичную задачу 563667, мы привели и другое решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |