PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.
а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.
б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где
Решение. а) Поскольку основания трапеции AD и BC параллельны, а её высота
то 
а значит, вписанный угол KBC, равны 90°, опирается на диаметр CK, на который опирается и вписанный угол CAK . Поэтому 
б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть 
а катет
В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, 
то есть 
а значит, 
Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки 
и 
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим 
откуда
Тогда 
поэтому 
то есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |