Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если то а тогда Итак, если в по­сле­до­ва­тель­но­сти каж­дое число, кроме пер­во­го и по­след­не­го, боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них чисел, то по­сле­до­ва­тель­ность раз­но­стей со­сед­них чле­нов убы­ва­ет  — это не­об­хо­ди­мое и до­ста­точ­ное усло­вие.

а)  Если раз­ность вто­ро­го и пер­во­го чле­нов от­ри­ца­тель­на, то и все осталь­ные раз­но­сти тоже от­ри­ца­тель­ны. Тогда каж­дый сле­ду­ю­щий член мень­ше преды­ду­ще­го и по­то­му они все от­ри­ца­тель­ны. По­это­му по­след­ний член не может быть равен нулю.

б)  По­сколь­ку имеем:

от­ку­да и не может рав­нять­ся 20.

в)  При­ве­дем при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, для ко­то­рой   — мень­ше быть не может по до­ка­зан­но­му в преды­ду­щем пунк­те. В ней: и для всех n таких, что член a_n равен сумме пер­вых (n–1)-⁠го чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти то есть по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид Тогда усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но: по­сле­до­ва­тель­ность раз­но­стей со­сед­них чле­нов вы­бра­на нами убы­ва­ю­щей.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  39.

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­ем 514525 ос­нов­ной волны ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 2016 года.