РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Множество чисел назовем «значимым», если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а)  Является ли множество {400; 401; 402; ... ; 519} значимым?

б)  Является ли множество {3²; 3³; 3⁴; ... ; 3²⁰⁰} значимым?

в)  Сколько значимых четырехэлементных подмножеств у множества {2; 3; 6; 5 ; 9; 13; 17}?

Решение. а)  Да. Разобьём числа на 60 пар вида 400 + 519, 401 + 518, ..., а затем в каждое множество возьмем элементы 30 пар. Сумма в каждой паре одна и та же.

б)  Нет. В этом множестве 199 нечетных чисел, поэтому сумма всех его элементов нечетна и не может быть разбита на две одинаковых целых суммы.

в)  Четырехэлементное хорошее множество либо содержит две пары элементов с одинаковой суммой, либо содержит элемент, равный сумме остальных.

Перечислим суммы по 2 элемента:

2 + 3  =  5, 2 + 5  =  7, 2 + 6  =  8, 2 + 9  =  11, 2 + 13  =  15, 2 + 17  =  19;

3 + 5  =  8, 3 + 6  =  9, 3 + 9  =  12, 3 + 13  =  16, 3 + 17  =  20;

5 + 6  =  11, 5 + 9  =  14, 5 + 13  =  18, 5 + 17  =  22;

6 + 9  =  15, 6 + 13  =  19, 6 + 17  =  23;

9 + 13  =  22, 9 + 17  =  26, 13 + 17  =  30.

Совпадения сумм дают множества

{2, 3, 5, 6}, {2, 5, 6, 9}, {2, 6, 9, 13}, {2, 6, 13, 17}, {5, 9, 13, 17}.

Теперь выпишем суммы трех элементов, не превосходящие 17:

2 + 3 + 5  =  10,

2 + 3 + 6  =  11;

2 + 3 + 9  =  14,

2 + 5 + 6  =  13;

2 + 5 + 9  =  16,

2 + 6 + 9  =  17;

3 + 5 + 6  =  14,

3 + 5 + 9  =  17.

Среди них есть еще три подходящих набора. Итого таких множеств 8.

Ответ: а) Да; б) нет; в) 8.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а  — г	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562255	а) Да; б) нет; в) 8.

Ключ