РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 562242 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $дробь: числитель: косинус x плюс a синус x, знаменатель: синус x плюс косинус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус a конец дроби$ имеет хотя бы одно решение на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. Заметим, что уравнение определено при любых значениях переменной из заданного отрезка и что $a не равно 2.$ Используем свойство пропорции:

$2 косинус x минус a косинус x плюс 2a синус x минус a в квадрате синус x = синус x плюс косинус x равносильно левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка косинус x минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате синус x=0 равносильно$ $2 косинус x минус a косинус x плюс 2a синус x минус a в квадрате синус x = синус x плюс косинус x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка косинус x минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате синус x=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=1, косинус x минус левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка синус x=0 конец совокупности . .$

При $a=1$ решением уравнения является весь интервал $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$ Второе уравнение разделим на $синус x,$ получим уравнение $\ctg x=1 минус a.$ На интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ котангенс принимает все значения из интервала $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка ,$ поэтому уравнение $\ctg x=1 минус a$ имеет решения на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ при

$минус 1 меньше 1 минус a меньше 0 равносильно 1 меньше a меньше 2.$

Объединяя полученные значения параметра, получаем ответ.

Ответ: $1 меньше или равно a меньше 2.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $1 меньше или равно a меньше 2.$

562242

$1 меньше или равно a меньше 2.$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562242	$1 меньше или равно a меньше 2.$