ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 562213 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых», Неравенства с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$левая круглая скобка 4|x| минус a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 минус a правая круглая скобка \leqslant0$

имеет хотя бы одно решение из промежутка [−4; 4].

Решение.

Неравенство верно, если один из множителей обращается в нуль, либо если множители имеют разные знаки, то есть если при $минус 4 меньше или равно x меньше или равно 4:$ или $a = 4|x| минус 3,$ или $a = x в квадрате минус 2x минус 2,$ или

$система выражений 4|x| минус a минус 3 больше 0,x в квадрате минус 2x минус 2 минус a меньше 0, конец системы .$

или

$система выражений 4|x| минус a минус 3 меньше 0,x в квадрате минус 2x минус 2 минус a больше 0. конец системы .$

Выделим оранжевым (см. рис.) решение системы

$система выражений a меньше 4|x| минус 3,a больше x в квадрате минус 2x минус 2, минус 4 меньше или равно x меньше или равно 4 конец системы .$

на отрезке [−4; 4]. Линии $a = 4x минус 3$ и $a = x в квадрате минус 2x минус 2$ также соответствуют решениям. Найдем наибольшее из значений параметра при $x = 4,$ получим: $a = 16 минус 3 = 13.$ Таким образом, в рассматриваемом случае решения есть при каждом значении $a принадлежит левая квадратная скобка минус 3;13 правая квадратная скобка .$

Выделим синим синим цветом решения системы

$система выражений a больше 4|x| минус 3,a меньше x в квадрате минус 2x минус 2, минус 4 меньше или равно x меньше или равно 4. конец системы .$

Линии $a = минус 4x минус 3$ и $a = x в квадрате минус 2x минус 2$ также соответствуют решениям. Найдем наибольшее из значений параметра при $x = минус 4,$ получим: $a = 16 плюс 8 минус 2 = 22.$ Таким образом, в рассматриваемом случае решения есть при каждом значении $a принадлежит левая квадратная скобка минус 3; 22 правая квадратная скобка .$

Итак, уравнение имеет хотя бы одно решение при всех значениях параметра из отрезка $левая квадратная скобка минус 3;22 правая квадратная скобка .$

Ответ: [−3; 22].

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: [−3; 22].

Аналоги к заданию № 562213: 562215 Все

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 562215 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых», Неравенства с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все значения a, при каждом из которых любое значение из промежутка [−1,5; −0,5] является решением неравенства

$левая круглая скобка 4|x| минус a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 минус a правая круглая скобка \geqslant0.$

Решение.

Построим графики множителей $a=4\absx минус 3$ и $a=x в квадрате минус 2x минус 2$ в плоскости (x; a).

Найдем координаты точки пересечения построенных графиков. При $x больше или равно 0:$

$система выражений x в квадрате минус 2x минус 2=4x минус 3,x больше или равно 0, конец системы .$

откуда $x_1=3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и $a_1=9 плюс 8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ $x_2=3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и $a_2=9 минус 8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$

При $x меньше 0:$

$система выражений x в квадрате минус 2x минус 2= минус 4x минус 3,x меньше 0, конец системы .$

откуда $x_3= минус 1$ и $a_3=1.$

Далее воспользуемся методом областей. Выделим области, в которых значение

$f левая круглая скобка x,a правая круглая скобка = левая круглая скобка 4\absx минус a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 минус a правая круглая скобка$

отрицательно. Осталось выяснить, при каких значениях a полоса $минус 1,5 меньше или равно x меньше или равно минус 0,5$ не пересекается с выделенными областями. Это происходит при $a меньше или равно 4 умножить на \abs минус 0,5 минус 3 = минус 1;$ $a=1$ или если

$a больше или равно левая круглая скобка минус 1,5 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 1,5 правая круглая скобка минус 2 =3,25.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3,25; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4.	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 562213: 562215 Все

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе