Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки APC и CKA: углы PAC и KCA равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, углы APC и CKA равны (пря­мые углы), сто­ро­на AC  — общая. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки APC и CKA равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу. Точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной AC. От­рез­ки MP и MK равны, как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты (ме­ди­а­ны про­ве­ден­ные к ги­по­те­ну­зам) рав­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, тре­уголь­ник KMP  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков APC и CKA сле­ду­ет ра­вен­ство от­рез­ков AP и CK, а зна­чит и ра­вен­ство от­рез­ков PB и KB. Тогда тре­уголь­ни­ки PBK и ABC по­доб­ны. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMP:

Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: б) 50.