В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.
а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.
Рассмотрим 
и 
У них: 
— общий, AB = CB, 
как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, 
по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: AK = CP.
При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, MP = MK.
б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии 
MH — ось симметрии 
(H — точка пересечения BM и PK).
Пусть AB = BC = a, 
В прямоугольном треугольнике ABM: 
Это с одной стороны. С другой стороны,
Следовательно, 
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: 
Если 
то 
как два прямоугольных треугольника с общим острым углом.
Коэффициент подобия 
Так как 
то:
Ответ: б) 15.
Примечание.
Это задание встречалась ранее в варианте 106 А. Ларина: см. задачу 562077.