Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABO и COD: углы ABD и BDC при се­ку­щей BD не равны. Тогда, так как тре­уголь­ни­ки ABO и COD по­доб­ны, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ков AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равна 90°, сле­до­ва­тель­но, кон­фи­гу­ра­цию можно пред­ста­вить при­ве­ден­ным ри­сун­ком. За­ме­тим, что cле­до­ва­тель­но, во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность.

б)  Пусть тогда:

Из этого сле­ду­ет, что сто­ро­ны AO и OC равны:

Пусть тогда при Тогда

С уче­том сим­мет­рии можно вы­брать любое из най­ден­ных зна­че­ний x. Пусть длина OB равна 1, длина OD равна 25, тогда

Най­дем по­лу­пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD:

Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD:

Вы­чис­лим ис­ко­мый ра­ди­ус:

Оста­лось от­ме­тить, что диа­го­наль АС может яв­ля­ет­ся дру­гой диа­го­на­лью дель­то­и­да и бис­сек­три­сой его углов. В этом слу­чае ана­ло­гич­ное при­ве­ден­но­му выше квад­рат­ное урав­не­ние имеет вид и не имеет кор­ней. Сле­до­ва­тель­но, такая кон­фи­гу­ра­ций не­воз­мож­на.

Ответ: