а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABO и COD: углы ABD и BDC при се­ку­щей BD не равны. Тогда, так как тре­уголь­ни­ки ABO и COD по­доб­ны, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ков AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равна 90°, сле­до­ва­тель­но, кон­фи­гу­ра­цию можно пред­ста­вить при­ве­ден­ным ри­сун­ком. За­ме­тим, что cле­до­ва­тель­но, во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность.

б)  Пусть тогда:

Из этого сле­ду­ет, что сто­ро­ны AO и OC равны:

Пусть тогда при Тогда

С уче­том сим­мет­рии можно вы­брать любое из най­ден­ных зна­че­ний x. Пусть длина OB равна 1, длина OD равна 25, тогда

Най­дем по­лу­пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD:

Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD:

Вы­чис­лим ис­ко­мый ра­ди­ус:

Оста­лось от­ме­тить, что диа­го­наль АС может яв­ля­ет­ся дру­гой диа­го­на­лью дель­то­и­да и бис­сек­три­сой его углов. В этом слу­чае ана­ло­гич­ное при­ве­ден­но­му выше квад­рат­ное урав­не­ние имеет вид и не имеет кор­ней. Сле­до­ва­тель­но, такая кон­фи­гу­ра­ций не­воз­мож­на.

Ответ:

а)  Тре­уголь­ни­ки AOB и BOC по­доб­ны, по­это­му угол BAO равен либо углу BCO, либо углу CBO. Пусть ∠BAO  =  ∠BCO, тогда тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, AB  =  BC. Рас­смот­рим тре­уголь­ник DCO. Угол DCO не может быть равен углу BAO, по­сколь­ку сто­ро­ны AB и DC не па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, ∠DCO  =  ∠ABO. Ана­ло­гич­но ∠DAO  =  ∠CBO  =  ∠ABO, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ADC рав­но­бед­рен­ный и AD  =  DC. Тогда AB + DC  =  AD + BC, сле­до­ва­тель­но, в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пусть ∠BAO  =  ∠CBO, тогда, рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­чим AB  =  AD и BC  =  CD, сле­до­ва­тель­но, AB + CD  =  AD + ВC и в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим угол BCD:

так как все тре­уголь­ни­ки пря­мо­уголь­ные. Сле­до­ва­тель­но,

а по­то­му че­ты­рех­уголь­ник ABCD яв­ля­ет­ся впи­сан­ным. Тогда диа­го­наль BD  — диа­метр окруж­но­сти. По­лу­ча­ем: а от­ку­да

Не на­ру­шая общ­но­сти, по­ло­жим длину BO рав­ной 4, а длину OD рав­ной 9, тогда в тре­уголь­ни­ке BOC:

Най­дем по­лу­пе­ри­метр и пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

Оста­лось от­ме­тить, что диа­го­наль АС может яв­ля­ет­ся дру­гой диа­го­на­лью че­ты­рех­уголь­ни­ка и бис­сек­три­сой его углов. В этом слу­чае ана­ло­гич­ное при­ве­ден­но­му выше квад­рат­ное урав­не­ние не имеет кор­ней. Сле­до­ва­тель­но, такая кон­фи­гу­ра­ций не­воз­мож­на.

Ответ: