РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Пусть $\overlineab$ обозначает двузначное число, равное $10a плюс b,$ где a и b  — цифры, $a не равно 0.$

а)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=198?$

б)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=495,$ если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?

в)  Какое наибольшее значение может принимать выражение $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc,$ если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6?

Решение. а)  Да. Действительно, поскольку

$\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$ $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=$
$= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$ $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=$
$= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =$
$=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$

нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $ac минус bd=2.$ Это верно, например, при $a =1,$ $b = 2 ,$ $c = 8$ и $d = 3.$

б)  Докажем, что это невозможно. Имеем

$\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .$

Значит, если $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=495,$ то $99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка =495=99 умножить на 5$ и $ac минус bd=5.$ Если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5, то одно из произведений ac или bd делится на 5, а значит, и другое произведение тоже делится на 5. Это невозможно, поскольку в этом случае среди цифр a, b, c и d есть по крайней мере две цифры 5.

в)  Как показано выше,

Чтобы полученное число было наибольшим, возьмём a  =  9, c  =  9, b  =  5, d  =  6, тогда

99 · (9 · 9 − 5 · 6)  =  99 · 51  =  5049.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5049.

Примечание.

Авторам задачи, возможно, следовало бы дополнить пункт в) фразой «где цифры a, b, c и d попарно различны». Для такого условия рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6.

Если цифры 5 и 6  — это a и c, то $ac минус bd\leqslant5 умножить на 6 минус 1 умножить на 2=28.$

Если цифры 5 и 6  — это b и d, то $ac минус bd\leqslant8 умножить на 9 минус 5 умножить на 6=42.$

Если цифра 5  — это a или c, а цифра 6  — это b или d, то $ac минус bd\leqslant5 умножить на 9 минус 6 умножить на 1=39.$

Если цифра 6  — это a или c, а цифра 5  — это b или d, то $ac минус bd\leqslant6 умножить на 9 минус 5 умножить на 1=49.$

Значит, наибольшее возможное значение выражения $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc$ равно $99 умножить на 49=4851,$ оно достигается при $a = 6,$ $b = 5,$ $c = 9$ и $d =1.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в.	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в.	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены.	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	559413	а)  да; б)  нет; в)  5049.

Ключ