PDF-версии: 
К окружности с диаметром AB = 6 проведена касательная BC так, что 
Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника FBE.
Решение. а) Заметим, что
поскольку этот угол опирается на диаметр AB. Тогда BD — высота прямоугольного треугольника ABC. По свойству высоты получаем, что 
тогда 
Треугольники EOB и DOA равны по двум сторонам и углу между ними, значит, EB = AD, откуда 
б) Выразим площадь треугольника FBE:
Вычислим длины отрезков:
Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой ODF:
откуда 
Таким образом, C — середина BF и 
Следовательно,
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Данилы Карпова.
Вычислим длины отрезков:
Как доказано в пункте а), Треугольники EOB и DOA равны, тогда ∠BAD = ∠ ABE. Эти углы накрест лежащие, тогда AD || BE. Следовательно, треугольник FCD подобен FBE. Тогда
Следовательно, BD — медиана треугольника FBE, она делит его на два треугольника равной площади, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |