PDF-версии: 
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
Решение. а) Пусть на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.
б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 4, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна 24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420. Значит, получить сумму 390 невозможно.
в) Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 4, представимо в виде 5k + 4. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна
Предположим, что 
Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна
Значит, n < 14, следовательно, 
Покажем, что могло быть написано девять чисел. Например, сумма девяти чисел 24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194 равна 2226.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
Приведем решение Евгения Обухова (Москва).
а) Возрастающий ряд натуральных чисел, делящихся на 3 (сумма цифр числа делится на 3) и оканчивающихся на 4, начинается фрагментом: 24, 54, 84, 114, 144, ... . Легко подобрать пример: 
б) Допустим, может. Это означает, что в сумме как минимум пять слагаемых (иначе сумма чисел, оканчивающихся на 4, не заканчивается 0). Следовательно, сумма не меньше, чем 
Противоречие.
в) Из пункта а) следует, что рассматриваемая последовательность чисел возрастает. Разность соседних чисел должна делиться и на 10, поскольку все числа оканчиваются на 4, и делиться на 3, поскольку все числа делятся на 3. Следовательно, эта разность равна 30. То есть на доске написаны числа вида 
где ki — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна
Так как все числа на доске различны, то
Тогда
Из этого неравенства следует, что 
Из (⁎) следует, что 
делится на 10, следовательно, 
и 
заведомо не подходят. При 
из (⁎) получаем, что
Построение примера завершает его предъявление:
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
Приведем решение Владислава Франка (Санкт-Петербург).
а) Да. Например, 24 + 54 + 204.
б) Нет. Если их последние цифры четверки, то нужно минимум 5 чисел, чтобы их сумма кончалась на 0, но даже сумма самых маленьких пяти таких чисел слишком велика: 
в) Разобьем числа на группы по пять. Тогда в каждой группе сумма кончается на 0. Значит, в последней группе (она могла бы быть неполной) должно быть 4 числа — иначе последняя цифра суммы не сойдется. Итак, общее количество чисел может быть 
Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например, 
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― искомая оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |