PDF-версии: 
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются окружности диаметром 
в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1.
а) Найдите величину угла MBN.
б) Найдите длину основания AD.
Решение. а) Применим теорему синусов к треугольнику MBN, получим:
откуда 
тогда 
или 
Воспользуемся тем, что AD > BC. Если сдвигать точку A к точке D, точка M будет перемещаться по дуге в сторону точки D, таким образом, дуга NBM будет увеличиваться. В тот момент, когда основания станут равны, точки M и N станут симметричны относительно середины отрезка BD, то есть станут диаметрально противоположны. Итак, если увеличивать дугу NBM, то она станет полуокружностью, значит, на исходной картинке она меньше полуокружности, поэтому 
Таким образом,
б) По условию площадь трапеции 
Высота трапеции равна диаметру окружности: 
Пусть длина верхнего основания трапеции равна а, а длина нижнего равна b, из выражения для площади трапеции находим, что: 
Пусть угол CBD равен α, угол ADB равен β. Треугольник BMD прямоугольный, так как BD — диаметр окружности, поэтому 
а 
В прямоугольном треугольнике CBD находим: 
В прямоугольном треугольнике ADB находим: 
Угол MDC, равный сумме углов CBD и ADB, опирается на ту же хорду, что и угол MBC, но его вершина лежит по другую сторону от этой хорды, поэтому 
Следовательно, 
Применим формулу тангенса суммы:
откуда 
Подставляя значения тангенсов, находим:
Учтем, что 
получаем:
Ответ: а) 135°, б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |