а)  При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку MBN, по­лу­чим: от­ку­да тогда или Вос­поль­зу­ем­ся тем, что AD > BC. Если сдви­гать точку A к точке D, точка M будет пе­ре­ме­щать­ся по дуге в сто­ро­ну точки D, таким об­ра­зом, дуга NBM будет уве­ли­чи­вать­ся. В тот мо­мент, когда ос­но­ва­ния ста­нут равны, точки M и N ста­нут сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но се­ре­ди­ны от­рез­ка BD, то есть ста­нут диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Итак, если уве­ли­чи­вать дугу NBM, то она ста­нет по­лу­окруж­но­стью, зна­чит, на ис­ход­ной кар­тин­ке она мень­ше по­лу­окруж­но­сти, по­это­му Таким об­ра­зом,

б)  По усло­вию пло­щадь тра­пе­ции Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру окруж­но­сти: Пусть длина верх­не­го ос­но­ва­ния тра­пе­ции равна а, а длина ниж­не­го равна b, из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди тра­пе­ции на­хо­дим, что:

Пусть угол CBD равен α, угол ADB равен β. Тре­уголь­ник BMD пря­мо­уголь­ный, так как BD  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му а В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CBD на­хо­дим: В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADB на­хо­дим: Угол MDC, рав­ный сумме углов CBD и ADB, опи­ра­ет­ся на ту же хорду, что и угол MBC, но его вер­ши­на лежит по дру­гую сто­ро­ну от этой хорды, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ним фор­му­лу тан­ген­са суммы:

от­ку­да Под­став­ляя зна­че­ния тан­ген­сов, на­хо­дим:

Учтем, что по­лу­ча­ем:

Ответ: а) 135°, б)

а)  За­пи­шем тео­ре­му си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MBN: от­ку­да тогда или Вос­поль­зу­ем­ся тем, что AD > BC. Если сдви­гать точку A к точке D, точка M будет пе­ре­ме­щать­ся по дуге в сто­ро­ну точки D, таким об­ра­зом, дуга NBM будет уве­ли­чи­вать­ся. В тот мо­мент, когда ос­но­ва­ния ста­нут равны, точки M и N ста­нут сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но се­ре­ди­ны от­рез­ка BD  — то есть ста­нут диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Итак, если уве­ли­чи­вать дугу NBM, то она ста­нет по­лу­окруж­но­стью, зна­чит, на ис­ход­ной кар­тин­ке она мень­ше по­лу­окруж­но­сти, по­это­му Таким об­ра­зом,

б)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, чтобы на­ча­ло ко­ор­ди­нат ока­за­лось в цен­тре окруж­но­сти, а ос­но­ва­ния тра­пе­ции были па­рал­лель­ны го­ри­зон­таль­ной оси. Тогда ко­ор­ди­на­та­ми вер­шин будут B (0; 1), D (0; −1), A (a, −1), C (c, 1). Пусть a > 0 и c < 0. Тогда усло­вие пло­ща­ди дает:

Для вто­ро­го усло­вия не­об­хо­ди­мы ко­ор­ди­на­ты точек M и N. Урав­не­ние пря­мой AB имеет вид При x  =  0 имеем y  =  1, тогда Урав­не­ние окруж­но­сти имеет вид: Под­став­ляя в него урав­не­ние пря­мой, по­лу­ча­ем:

Дан­ное урав­не­ние имеет два корня, x  =  0 дает точку B. Зна­чит, от­ку­да

Ана­ло­гич­но урав­не­ние пря­мой CD имеет вид: где x  — ко­ор­ди­на­та точки N равна а ко­ор­ди­на­та y равна За­пи­шем вто­рое усло­вие

Рас­кры­вая скоб­ки по­лу­ча­ем квад­ра­ты ко­ор­ди­нат точек M и N, ко­то­рые в сумме дают 2. Рас­смот­рим удво­ен­ные про­из­ве­де­ния:

Зная, что a  =  c + 2, по­лу­ча­ем:

Вве­дем за­ме­ну тогда

Ясно, что по­это­му по­это­му удо­вле­тво­ря­ет толь­ко сле­ду­ю­щий ва­ри­ант:

Таким об­ра­зом,

Оче­вид­но, что один выбор знака дает боль­шее ос­но­ва­ние, а дру­гой  — мень­шее, по­сколь­ку их сумма как раз равна 2. За­да­че удо­вле­тво­ря­ет боль­шее ос­но­ва­ние, по­это­му ответ

Ответ: б)