В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1.
а) Найдите величину угла MBN.
б) Найдите длину основания AD.
а) Запишем теорему синусов для треугольника MBN: 
откуда 
тогда 
или 
Воспользуемся тем, что AD > BC. Если сдвигать точку A к точке D, точка M будет перемещаться по дуге в сторону точки D, таким образом, дуга NBM будет увеличиваться. В тот момент, когда основания станут равны, точки M и N станут симметричны относительно середины отрезка BD — то есть станут диаметрально противоположны. Итак, если увеличивать дугу NBM, то она станет полуокружностью, значит, на исходной картинке она меньше полуокружности, поэтому 
Таким образом,
б) Введем систему координат так, чтобы начало координат оказалось в центре окружности, а основания трапеции были параллельны горизонтальной оси. Тогда координатами вершин будут B (0; 1), D (0; −1), A (a, −1), C (c, 1). Пусть a > 0 и c < 0. Тогда условие площади дает:
Для второго условия необходимы координаты точек M и N. Уравнение прямой AB имеет вид 
При x = 0 имеем y = 1, тогда 
Уравнение окружности имеет вид: 
Подставляя в него уравнение прямой, получаем:
Данное уравнение имеет два корня, x = 0 дает точку B. Значит, 
откуда
и 
Аналогично уравнение прямой CD имеет вид: 
где x — координата точки N равна 
а координата y равна 
Запишем второе условие 
Раскрывая скобки получаем квадраты координат точек M и N, которые в сумме дают 2. Рассмотрим удвоенные произведения:
Зная, что a = c + 2, получаем:
Введем замену 
тогда 
Ясно, что 
поэтому 
поэтому удовлетворяет только следующий вариант:
Таким образом,
Очевидно, что один выбор знака дает большее основание, а другой — меньшее, поскольку их сумма как раз равна 2. Задаче удовлетворяет большее основание, поэтому ответ 
Ответ: б)