Тип 19 № 526541 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Решение. а) Сумма натуральных чисел, записанных в первый день, равна 7. Следовательно, чисел, записанных в первый день, не более 7. Тогда в день n (
) записанных чисел не более 1. И это число заведомо больше 7 (т. к. сумма чисел с каждым днем увеличивается). Противоречие с условием (все записанные числа должны быть меньше 6).
б) Пусть 
в первый день на доску записали число 1 и шесть чисел 2, во второй день — шесть чисел 3, а в третий день — пять чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 13, во второй — 18, а в третий — 20. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно 
а среднее арифметическое всех записанных чисел равно 
в) Заметим, что в шестой день на доску было записано хотя бы одно число. Предположим, что в шестой день на доску было записано не больше двух чисел. Значит, в первый день на доску было записано не менее 6 чисел, и их сумма была не меньше 6. Но это невозможно, поскольку в шестой день сумма записанных на доску чисел должна быть не меньше 11, а сумма двух чисел, каждое из которых меньше 6, не может быть больше 10.
Таким образом, в шестой день на доску было записано хотя бы три числа. Следовательно, в пятый день было записано не менее четырёх чисел, в четвёртый день — не менее пяти, в третий — не менее шести, во второй — не менее семи, а в первый — не менее восьми. Значит, суммарно чисел было не меньше 33.
Покажем, что могло быть записано 33 числа, удовлетворяющих условию задачи. Пусть в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3; в третий — 1, 1, 1, 1, 3, 3; в четвёртый — 1, 1, 3, 3, 3; в пятый — 1, 1, 5, 5; в шестой — 4, 4, 5. Тогда суммы записанных за эти дни чисел соответственно равны 8, 9, 10, 11, 12 и 13, то есть числа удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: а) нет; б) да; в) 33.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) да; в) 33.
526541
а) нет; б) да; в) 33.
PDF-версии: