PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания 
а боковое ребро 
На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую KM и параллельна SA.
а) Докажите, что плоскость делит ребро AC в отношении 1 : 2, считая от вершины A.
б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
Решение. а) Пусть плоскость пересекает ребро AC в точке P. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SСA по прямой, параллельной SA. Тем самым, прямые MP и SA параллельны, треугольники CMP и CSA подобны, а
б) Пусть плоскость сечения пересекает ребро SB в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников BKL и BAS находим, что 
Из равенства 
следует, что PK и CB параллельны.
Пусть, далее, H — середина ВC. Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR. Прямая SA параллельна плоскости α, поэтому искомое расстояние от прямой SA до прямой КМ равно d(SA, QR) — расстоянию между параллельными прямыми SA и QR. Найдем его.
Найдем длины сторон треугольника SHА: 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: 
Тогда 
Из подобия треугольников AKP и ABC получаем: 
Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении 1 : 2, считая от точки T. Следовательно, 
Ответ: б) 
Примечание.
Внимательный читатель заметит, что найденная длина отрезка AT превосходит всю длину ребра AS. Это означает, что в действительности, основание высоты HT лежит на продолжении ребра SA за точку S.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |