PDF-версии: 
В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120°.
а) Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
а 
Решение. а) В треугольнике AOC 
но величины 
и 
составляют половины величин 
и 
а значит, 
Тогда 
Вертикальные углы 
и 
равны, и, значит, сумма противоположных углов четырехугольника BDOE равна 180°. Следовательно, около него можно описать окружность.
б) В треугольнике ABC биссектрисы пересекаются в точке O, значит, BO — биссектриса угла 
а значит, 
Углы 
и 
равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около четырехугольника BDOE. Имеем:
1) 
2) 
по теореме о внешнем угле треугольника;
3) 
Таким образом, треугольник ABC прямоугольный и его площадь равна 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |