РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 522154 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.

а)  Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 187?

б)  Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 188?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − 2n, если n  — трёхзначное число?

Решение. а)  Такое число существует. Например, для числа $n = 599$ имеем $5 в квадрате плюс 9 в квадрате плюс 9 в квадрате =187.$

б)  Заметим, что для любого целого числа k число k² либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если $K левая круглая скобка n правая круглая скобка =188=4 умножить на 47,$ то все цифры числа

n чётны и либо $K левая круглая скобка n правая круглая скобка =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 8 в квадрате =192,$ либо $K левая круглая скобка n правая круглая скобка \leqslant8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 6 в квадрате =164.$ Значит, искомого числа n не существует.

в)  Пусть $n =100a плюс 10b плюс c ,$ где $a,b,c$   — цифры. Тогда

$4K левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 2n=4 левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 100a плюс 10b плюс c правая круглая скобка =$

$= левая круглая скобка 2a минус 50 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2b минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2c минус 0,5 правая круглая скобка в квадрате минус 50 в квадрате минус 5 в квадрате минус 0,5 в квадрате .$

Наименьшие возможные значения выражений $левая круглая скобка 2a минус 50 правая круглая скобка в квадрате , левая круглая скобка 2b минус 5 правая круглая скобка в квадрате$ и $левая круглая скобка 2c минус 0,5 правая круглая скобка в квадрате ,$ где $a,b,c$   — цифры, равны 32², 1² и 0,5² соответственно и достигаются при $a = 9,b = 2$ и $c =0.$ Значит,

$4K левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 2n\geqslant32 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0,5 в квадрате минус 50 в квадрате минус 5 в квадрате минус 0,5 в квадрате = минус 1500.$

При $n = 920$ имеем $4K левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 2n=4 умножить на 85 минус 2 умножить на 920= минус 1500.$ Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение $4K левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 2n,$ если n трёхзначное число, равно −1500.

Ответ: а) Да; б) нет; в) −1500.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) Да; б) нет; в) −1500.

522154

а) Да; б) нет; в) −1500.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	522154	а) Да; б) нет; в) −1500.