Ре­ше­ние. а)  Ост­рые углы BCA и CAD равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на дуги стя­ги­ва­е­мые рав­ны­ми хор­да­ми AB и CD. Зна­чит, пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б)  Обо­зна­чим угол BCA через α. По тео­ре­ме си­ну­сов

Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, по­это­му Че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, по­это­му Зна­чит,

Таким об­ра­зом, по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков ACD и ACB по­лу­ча­ем:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б)

За­ме­тим, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит внут­ри тра­пе­ции. Дей­стви­тель­но, если хорды были бы равны ра­ди­у­су, то центр окруж­но­сти лежал бы на сто­ро­не, как в слу­чае пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, но хорды боль­ше, а по­то­му центр окруж­но­сти лежит внут­ри тра­пе­ции. (Дру­гое рас­суж­де­ние: угол при вер­ши­не в тре­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 8, 8 и 12 боль­ше 60°, по­это­му сумма цен­траль­ных углов боль­ше 180°).

Про­ве­дем две вы­со­ты: DH  — из вер­ши­ны D и EF  — через центр окруж­но­сти. Обо­зна­чим ED = x, OE = y. Тогда из тре­уголь­ни­ка EOD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем а из тре­уголь­ни­ка BOF: Тогда вы­со­та тра­пе­ции а HC = 6 – x. За­пи­шем тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка DHC:

Под­ста­вим по­лу­чен­ный ре­зуль­тат в пер­вое урав­не­ние и решим его.

Оче­вид­но, что нам под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный ко­рень, от­ку­да AD = 2x = 9.

Ответ: б)

При­ведём ре­ше­ние пунк­та б) Павла Чер­ных.

В пунк­те а) было по­ка­за­но, что четырёхуголь­ник ABCD  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Из тео­ре­мы си­ну­сов по­лу­ча­ем, что Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства на­хо­дим:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

а по­то­му Сле­до­ва­тель­но,

По тео­ре­ме Пто­ле­мея тогда от­ку­да