PDF-версии: 
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые
а) Докажите, что AA1 = AC.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 6, BC = 3.
Решение. а) Спроектируем наклонную
на плоскость 
ее проекцией является прямая 
Так как 
по теореме о трех перпендикулярах, следует, что 
Таким образом, в прямоугольнике 
диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом, следовательно, 
б) Из п. а) следует, что 
и пересекается с ней в середине Пусть M — середина 
тогда искомое расстояние равно расстоянию между проекциями прямых на плоскость 
то есть расстоянию от точки M до прямой 
Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника проведённой к гипотенузе:
Ответ: б) 
Приведем другой способ решения для п. а).
Если 
то скалярное произведение векторов 
Введем систему координат с началом 
тогда 
получим координаты векторов 
и 
По условию 
а значит, что 
это возможно, когда 
то есть при 
или 
однако, ввиду того, как введена система координат, a и b имеют одинаковые знаки, значит, 
тогда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |