РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 516766 Добавить в вариант

Источники:

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1;

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Дано квадратное уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0,$ где a, b и c  — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б)  Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в)  Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Решение. а)  Да, например, $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0.$

б)  Пусть уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0$ имеет корень −53. Тогда $53 в квадрате a минус 53b плюс c=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ откуда $c=53b минус 53 в квадрате a,$ а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: $c=53.$ Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем $53a минус b плюс 1=0,$ откуда $b=53a плюс 1.$ Если $a больше или равно 2,$ то $b больше или равно 107,$ поэтому $a=1,$ $b=54.$ Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.

в)  Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное  целое  число, меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение $x в квадрате плюс 52x плюс 100=0$ имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.

516766

а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.

Источники:

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1;

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	516766	а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.